Análisis de borde

Condiciones en la frontera entre dos materiales
distintos
Cuando dos diel´ectricos est´an en contacto a trav´es de una superficie S, se
plantea un problema, pues la superficie no pertenece propiamente a ninguno (no
est´a definida su permitividad) y hay una discontinuidad en ella. Para resolver
este problema, se recurre al teorema de Gauss, como veremos a continuaci´on.
Consideraremos aqu´ı solamente una situaci´on est´atica.
Sean dos medios 1 y 2, en contacto a trav´es de una superficie, con permitividades
1 y 2, tal como indica la figura, siendo n la normal a la superficie de
contacto, dirigida del medio 1 al 2. Tomemos la superficie S, un cilindro con bases
de ´area a, cada una en uno de los medios, y apliquemos el teorema de Gauss
al vector desplazamiento D, suponiendo que en la superficie de contacto hay una
densidad de cargas libres .
Z
D · n da = (D2 · n − D1 · n) a = a,
o sea
(D2 − D1) · n = . (1.15)
Por tanto, si hay densidad de cargas libres en la superifice de contacto, la componente
normal del vector desplazamiento tiene una discontinuidad.
Consideremos ahora el rect´angulo de la figura, con dos lados paralelos a la
superficie de contacto y dos de longitud despreciable perpendiculares a ella. Sean
t el vector unitario tangente a la superficie de contacto en el plano del rect´angulo.
Aplicando el teorema de Stokes a la circulaci´on del vector E, resulta
(E2 − E1) · t = 0,
notas EM II (v. 1/diciembre/2006) — Antonio Fern´
andez-Ra˜
nada 2006 —
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Cap´ıtulo 1. Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell
y como el vector t es arbitrario en el plano tangente a la superficie de contacto
(E2 − E1) × n = 0. (1.16)
Como vemos, la componente tangencial del campo el´ectrico es continua, con independencia
de que existan o no cargas el´ectricas libres en la superficie.
Conviene a veces plantear esta cuesti´on en t´erminos del potencial . Las
ecuaciones (1.15) y (1.16) se pueden escribir como
2
@
@n

2
− 1
@
@n

1
= , (1.17)
@
@t

2
−
@
@t

1
= 0, (1.18)
donde @n y @t son las derivadas seg´un la normal a la superficie y seg´un una
tangente. La segunda establece que, salvo una constante aditiva en uno de los dos
potenciales,
1 = 2
a lo largo y ancho del contacto.
Veamos qu´e ocurre con el vector polarizaci´on. Un razonamiento an´alogo al
hecho para el vector desplazamiento, nos lleva a
(P2 − P1) = − P .
Si 2 es el vac´ıo, P2 = 0, con lo que
P = P · n,
como cab´ıa esperar.
Consideremos ahora la frontera entre dos medios sometidos a un campo
magn´etico. Tomemos una superficie tipo p´ıldora, es decir un cilindro de peque˜na
altura, con eje perpendicular a la frontera y con una base en cada medio. Aplicando
el teorema de Gauss, se tiene que
(B2 − B1) · n = 0, o sea B2n − B1n = 0. (1.19)
La componente normal de B es continua en una frontera.
Sea ahora un circuito C en forma de rect´angulo, con dos lados de longitud
` y paralelos al vector t, tangente a la superficie, y los otros dos muy cortos y
normales a ella, suponiendo que circula por S una densidad superficial de corriente
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— Antonio Fern´andez-Ra˜nada 2006 —
notas EM II (v. 1/diciembre/2006)
1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos
k (cantidad de corriente por unidad de longitud normal a ella). Calculando la
circulaci´on del vector intensidad magn´etica H a lo largo de C, resulta
(H2 · `t − H1 · `t) = |k × `t|, o sea H2t − H1t = |k × t| ,
siendo k es la densidad superficial de corriente (o sea la corriente transportada
or unidad de longitud perpendicaula en la capa superficial). Como t es un vector
tangente arbitrario, se tiene
(H2 − H1) × n = k. (1.20)
O sea: si no hay carga libre superficial, la componente tangencial de H es continua.